Что означает маленькая цифра внизу
Индекс показывает основание системы счисления: ₂ — двоичная, ₈ — восьмеричная, ₁₀ — привычная десятичная, ₁₆ — шестнадцатеричная. Одинаковая запись в разных системах может означать разные значения: 10₂ = 2₁₀, а 10₈ = 8₁₀.
| Система | Допустимые цифры | Вес разрядов справа налево |
|---|---|---|
| Двоичная, основание 2 | 0, 1 | 1, 2, 4, 8, 16, 32… |
| Восьмеричная, основание 8 | 0–7 | 1, 8, 64, 512… |
| Шестнадцатеричная, основание 16 | 0–9, A–F | 1, 16, 256, 4096… |
В шестнадцатеричной системе буквы продолжают цифры: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
Как получить новую запись из десятичного числа
Если спрашивают сумму цифр восьмеричной записи или число единиц в двоичной, одного перевода в десятичную недостаточно. Делим десятичное число на нужное основание и записываем остаток от каждого деления.
| Делим 83 на 8 | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 83 ÷ 8 | 10 | 3 |
| 10 ÷ 8 | 1 | 2 |
| 1 ÷ 8 | 0 | 1 |
Первый остаток 3 — последняя цифра. Читаем остатки снизу вверх: 123₈. Проверка: 1 × 64 + 2 × 8 + 3 = 83.
Шесть задач с полными решениями
1. Перевод 1100110₂ в десятичную систему
Условие. Переведите двоичное число 1100110₂ в десятичную систему счисления.
Справа налево нумеруем разряды от нуля. У каждой позиции есть вес — степень двойки. Цифра 1 добавляет этот вес, цифра 0 не добавляет ничего.
| Разряд | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вес | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Цифра | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| Вклад | 64 | 32 | 0 | 0 | 4 | 2 | 0 |
- Последняя цифра 0 стоит на месте 2⁰ = 1, её вклад 0 × 1 = 0.
- Следующая 1 стоит на месте 2¹ = 2, добавляем 2. Ещё одна 1 в разряде 2² добавляет 4.
- Нули в разрядах 2³ и 2⁴ ничего не добавляют. Единицы в разрядах 2⁵ и 2⁶ дают 32 и 64.
- Складываем ненулевые вклады: 64 + 32 + 4 + 2 = 102.
2. Максимум среди 38₁₆, 75₈ и 110100₂
Условие. Среди чисел 38₁₆, 75₈, 110100₂ найдите максимальное. Запишите результат в десятичной системе.
Сравнивать сами записи нельзя: основание определяет вес каждой позиции. Переводим все три числа в одну, десятичную систему.
| Число | Как получаем десятичное значение | Значение |
|---|---|---|
| 38₁₆ | 3 × 16 + 8 × 1 = 48 + 8 | 56 |
| 75₈ | 7 × 8 + 5 × 1 = 56 + 5 | 61 |
| 110100₂ | 32 + 16 + 4: единицы в разрядах 2⁵, 2⁴ и 2² | 52 |
- Из 38₁₆ получили 56. Цифра 3 стоит в разряде шестнадцаток, 8 — в разряде единиц.
- Из 75₈ получили 61: 7 восьмёрок и 5 единиц.
- В 110100₂ единицы на позициях 5, 4 и 2, поэтому 32 + 16 + 4 = 52.
- Сравниваем 61 > 56 > 52. Максимум соответствует 75₈, а в ответ нужен его десятичный эквивалент.
3. Минимум среди 20₁₆, 36₈ и 11100₂
Условие. Среди чисел 20₁₆, 36₈, 11100₂ найдите минимальное. Запишите результат в десятичной системе.
Длинная двоичная запись не означает большое значение. Каждое число раскрываем по весам разрядов.
| Число | Как переводим | Значение |
|---|---|---|
| 20₁₆ | 2 × 16 + 0 × 1 | 32 |
| 36₈ | 3 × 8 + 6 × 1 | 30 |
| 11100₂ | 16 + 8 + 4: единицы в разрядах 2⁴, 2³ и 2² | 28 |
- Две шестнадцатки — это 32.
- Три восьмёрки и шесть единиц — 30.
- В двоичном числе единицы дают 16 + 8 + 4 = 28.
- Сравниваем: 28 < 30 < 32. Записываем именно 28, а не двоичную запись.
4. Минимальная сумма цифр в восьмеричной записи
Условие. Среди чисел 55₁₀, 83₁₀, 91₁₀ найдите число, у которого сумма цифр восьмеричной записи наименьшая. В ответ запишите эту сумму цифр.
Сначала переводим каждое десятичное число в основание 8. При делении остаток даёт последнюю цифру записи. Следующий остаток будет перед ней, поэтому читаем их снизу вверх.
55₁₀ → 67₈
| Делим | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 55 ÷ 8 | 6 | 7 |
| 6 ÷ 8 | 0 | 6 |
Остатки снизу вверх дают 67₈. Проверка обратным переводом: 6 × 81 + 7 × 80 = 55.
83₁₀ → 123₈
| Делим | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 83 ÷ 8 | 10 | 3 |
| 10 ÷ 8 | 1 | 2 |
| 1 ÷ 8 | 0 | 1 |
Остатки снизу вверх дают 123₈. Проверка обратным переводом: 1 × 82 + 2 × 81 + 3 × 80 = 83.
91₁₀ → 133₈
| Делим | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 91 ÷ 8 | 11 | 3 |
| 11 ÷ 8 | 1 | 3 |
| 1 ÷ 8 | 0 | 1 |
Остатки снизу вверх дают 133₈. Проверка обратным переводом: 1 × 82 + 3 × 81 + 3 × 80 = 91.
| Десятичное число | Восьмеричная запись | Сумма её цифр |
|---|---|---|
| 55 | 67₈ | 6 + 7 = 13 |
| 83 | 123₈ | 1 + 2 + 3 = 6 |
| 91 | 133₈ | 1 + 3 + 3 = 7 |
Меньше всего сумма у 83₁₀: 6. По условию в ответ идёт сумма цифр, а не число 83.
Ответ: 6.5. Минимальное число единиц в двоичной записи
Условие. Среди чисел 59₁₀, 71₁₀, 81₁₀ найдите число, у которого в двоичной записи меньше всего единиц. В ответ запишите количество единиц.
Каждое число делим на 2. Остатки 0 и 1 записываем в порядке снизу вверх, а уже в получившейся двоичной записи считаем единицы.
59₁₀ → 111011₂
| Делим | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 59 ÷ 2 | 29 | 1 |
| 29 ÷ 2 | 14 | 1 |
| 14 ÷ 2 | 7 | 0 |
| 7 ÷ 2 | 3 | 1 |
| 3 ÷ 2 | 1 | 1 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Остатки снизу вверх дают 111011₂. В ней 5 единиц.
71₁₀ → 1000111₂
| Делим | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 71 ÷ 2 | 35 | 1 |
| 35 ÷ 2 | 17 | 1 |
| 17 ÷ 2 | 8 | 1 |
| 8 ÷ 2 | 4 | 0 |
| 4 ÷ 2 | 2 | 0 |
| 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Остатки снизу вверх дают 1000111₂. В ней 4 единицы.
81₁₀ → 1010001₂
| Делим | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 81 ÷ 2 | 40 | 1 |
| 40 ÷ 2 | 20 | 0 |
| 20 ÷ 2 | 10 | 0 |
| 10 ÷ 2 | 5 | 0 |
| 5 ÷ 2 | 2 | 1 |
| 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Остатки снизу вверх дают 1010001₂. В ней 3 единицы.
| Десятичное число | Двоичная запись | Число единиц |
|---|---|---|
| 59 | 111011₂ | 5 |
| 71 | 1000111₂ | 4 |
| 81 | 1010001₂ | 3 |
Наименьшее количество единиц — 3, оно получилось для 81₁₀. В ответ пишем 3, а не 81.
Ответ: 3.6. Арифметическое выражение с разными основаниями
Условие. Вычислите 110101₂ + 1011₈ + 101₁₆. В ответ запишите десятичное число.
Складывать записи как десятичные числа нельзя: одинаковая цифра в разных системах имеет разный вес. Сначала приводим каждое слагаемое к десятичной системе.
| Слагаемое | Разряды и их вклады | В десятичной |
|---|---|---|
| 110101₂ | 2⁵ + 2⁴ + 2² + 2⁰ = 32 + 16 + 4 + 1 | 53 |
| 1011₈ | 8³ + 8¹ + 8⁰ = 512 + 8 + 1 | 521 |
| 101₁₆ | 16² + 16⁰ = 256 + 1 | 257 |
- В двоичном числе единицы дают 53; нулевые разряды не добавляют ничего.
- Восьмеричное число содержит одну восьмёрку в разряде 8³, ещё одну в 8¹ и единицу: 521.
- В шестнадцатеричном числе единицы в 16² и 16⁰: 257.
- Теперь складываем значения в общей системе: 53 + 521 = 574, затем 574 + 257 = 831.
Что именно писать в ответ
- Если просят перевод, максимум или минимум — запиши требуемое десятичное число.
- Если просят сумму цифр или число единиц — переведи исходные десятичные числа в нужную систему, посчитай и запиши саму сумму или количество.
- Если дано выражение с разными основаниями — переведи каждое слагаемое в десятичную систему и выполни действие.
- Проверь значение обратным вычислением. Например, 123₈ = 64 + 16 + 3 = 83₁₀.
Шесть задач с проверкой
Введи только число. Если ошибёшься, появится подсказка, а ответ можно изменить.
Решено: 0 из 6
1. Перевод из двоичной
Переведи 101101₂ в десятичную систему.
2. Найди максимум
Какое десятичное значение наибольшее среди 2A₁₆, 53₈ и 101000₂?
3. Найди минимум
Какое десятичное значение наименьшее среди 1F₁₆, 34₈ и 11101₂?
4. Сумма восьмеричных цифр
Среди 47₁₀, 65₁₀ и 74₁₀ выбери число с наименьшей суммой цифр в восьмеричной записи. Запиши эту сумму.
5. Число единиц
Среди 31₁₀, 40₁₀ и 64₁₀ найди минимальное количество единиц в двоичной записи. Запиши это количество.
6. Выражение
Вычисли 10101₂ + 17₈ + 1A₁₆. Ответ запиши в десятичной системе.
Видео по заданию №10
Видео скоро выйдет.
Продолжи подготовку к ОГЭ
Ты разобрал все шесть типов задач на системы счисления. Создай аккаунт, чтобы продолжать практику по заданиям на сайте.
Создать бесплатный аккаунтПроверь себя перед ответом
Почему 10₂ не равно 10₁₀?
В записи 10₂ цифра 1 стоит в разряде двоек: 1 × 2 + 0 = 2₁₀. В десятичной записи 10₁₀ единица стоит в разряде десятков.
Почему остатки читают снизу вверх?
Первый остаток показывает разряд единиц — последнюю цифру нового числа. Следующее деление выделяет более старший разряд. Поэтому записываем найденные остатки в обратном порядке.
В задачах на сумму цифр нужно записать исходное число?
Нет. Если спрашивают сумму цифр, запиши сумму. Например, у 83₁₀ запись 123₈, сумма цифр 1 + 2 + 3 = 6, и ответ — 6.
Предыдущая тема — задание №9 про количество путей.