Черепаха: где считать точки, площадь и периметр

Как различать типы задания 6 ЕГЭ

Одинаковые команды Черепахи могут привести к разным ответам: всё зависит от того, какую область выбрали и что в ней измеряют. Перед рисованием выдели в вопросе три вещи:

1. Область: одна фигура, объединение или пересечение.
2. Величина: количество целочисленных точек, площадь или периметр.
3. Для точек: граница входит в подсчёт или исключается.

Объединение и пересечение: что именно оставляем

Объединение A ∪ B: оставляем всё, что принадлежит A или B. Общая часть входит один раз. Пересечение A ∩ B: оставляем только то, что принадлежит A и B одновременно.

Если прямоугольник B целиком находится внутри A, их объединение — весь A, а пересечение — весь B. Это простой способ проверить, не перепутал ли ты две операции.

Один прямоугольник — четыре разных ответа

Возьмём прямоугольник от x = 0 до x = 6 и от y = 0 до y = 4. Его стороны — 6 и 4:

У отрезка от 0 до 6 длина 6, но семь целых координат с концами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому для точек появляется +1, а для площади и периметра его нет.

Выбери область и способ подсчёта

В этих шести вопросах пока не нужно вычислять число. Сначала распознай, какие данные понадобятся для ответа.

Положение, направление и хвост

В примерах Черепаха стартует в (0; 0), смотрит вверх, хвост опущен. В стандартном Python turtle начальное направление вправо, поэтому перед командами задачи выполняем lt(90).

На size умножаем длины и координаты. Углы оставляем такими, как в условии: rt(90), без умножения на size. «Налево 270» даёт то же конечное направление, что «Направо 90».

После Повтори нужно проверить не только рисунок

Блок Вперёд a; Направо 90; Вперёд b; Направо 90 рисует две стороны прямоугольника. Два повтора замыкают прямоугольник. Четыре повтора обведут его дважды и вернут Черепаху в начало. Девять повторов обведут его четыре раза и пройдут ещё две стороны: Черепаха окажется в противоположном углу и будет смотреть в обратную сторону.

Повторная обводка не добавляет новых точек, площади или периметра. Но конечные координаты и направление влияют на все следующие команды.

Точки строго внутри контура

Направо 45
Повтори 3 [
    Направо 45
    Вперёд 10
    Направо 45
]
Направо 315
Вперёд 10
Направо 90
Вперёд 20
Направо 90
Повтори 2 [
    Вперёд 10
    Направо 90
]

1. Восстанови контур

После движений получаются вершины (0; 0), (10; 0), (10; −10), (0; −10), (−10; −10), (−10; 10), (0; 10), затем возврат в (0; 0). Отрезок снизу через (0; −10) прямой — эта промежуточная точка не меняет форму.

2. Считай внутренние точки горизонтальными рядами

Ряд y = 0 слева от оси находится внутри фигуры, а отрезок y = 0 при x от 0 до 10 — на границе. Поэтому нельзя просто убрать весь горизонтальный ряд целиком.

from turtle import *

setup(1000, 800)
size = 25
# Область просмотра вмещает рисунок; соотношение сторон сохранено.
setworldcoordinates(-375.0, -300.0, 375.0, 300.0)
tracer(0)
hideturtle()
lt(90)
down()

rt(45)
for i in range(3):
    rt(45)
    fd(10 * size)
    rt(45)
rt(315)
fd(10 * size)
rt(90)
fd(20 * size)
rt(90)
for i in range(2):
    fd(10 * size)
    rt(90)

# Сетка целых координат. Она не считает ответ автоматически.
up()
for x in range(-11, 12):
    for y in range(-11, 12):
        setpos(x * size, y * size)
        dot(4, 'red')

update()
done()

Точки в объединении с границей

Повтори 2 [
    Вперёд 14
    Налево 270
    Назад 12
    Направо 90
]
Поднять хвост
Вперёд 9
Направо 90
Назад 7
Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [
    Вперёд 13
    Направо 90
    Вперёд 6
    Направо 90
]

1. Найди границы двух прямоугольников

При переносе Назад 7 с направлением вправо Черепаха движется влево, поэтому новый старт — (−7; 9). Направление головы при движении назад сохраняется.

2. Посчитай точки, включая концы диапазонов

При сложении 195 и 98 общие точки попали в сумму дважды. Вычитаем 42 один раз:

from turtle import *

setup(1000, 800)
size = 23.077
# Область просмотра вмещает рисунок; соотношение сторон сохранено.
setworldcoordinates(-513.46325, -46.154000000000025, 236.53925, 553.8480000000001)
tracer(0)
hideturtle()
lt(90)
down()

for i in range(2):
    fd(14 * size)
    lt(270)
    bk(12 * size)
    rt(90)
up()
fd(9 * size)
rt(90)
bk(7 * size)
lt(90)
down()
for i in range(2):
    fd(13 * size)
    rt(90)
    fd(6 * size)
    rt(90)

# Сетка целых координат. Она не считает ответ автоматически.
up()
for x in range(-13, 2):
    for y in range(-1, 24):
        setpos(x * size, y * size)
        dot(4, 'red')

update()
done()

Площадь объединения

Повтори 2 [
    Вперёд 10
    Направо 90
    Вперёд 20
    Направо 90
]
Поднять хвост
Вперёд 5
Направо 90
Вперёд 9
Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [
    Вперёд 10
    Направо 90
    Вперёд 15
    Направо 90
]

1. Выдели общую область

Общая ширина: 20 − 9 = 11. Общая высота: 10 − 5 = 5. Поскольку спрашивают площадь, к этим длинам не прибавляем 1.

2. Собери объединение без повторного учёта

from turtle import *

setup(1000, 800)
size = 25
# Область просмотра вмещает рисунок; соотношение сторон сохранено.
setworldcoordinates(-50.0, -92.5, 650.0, 467.5)
tracer(0)
hideturtle()
lt(90)
down()

for i in range(2):
    fd(10 * size)
    rt(90)
    fd(20 * size)
    rt(90)
up()
fd(5 * size)
rt(90)
fd(9 * size)
lt(90)
down()
for i in range(2):
    fd(10 * size)
    rt(90)
    fd(15 * size)
    rt(90)

update()
done()

Периметр пересечения

Повтори 4 [
    Вперёд 23
    Направо 90
    Вперёд 16
    Направо 90
]
Поднять хвост
Вперёд 1
Направо 90
Вперёд 3
Налево 90
Опустить хвост
Повтори 4 [
    Вперёд 60
    Направо 90
    Вперёд 84
    Направо 90
]

1. Проверь перенос после первого цикла

Четыре повтора блока по две стороны возвращают Черепаху в (0; 0) с направлением вверх. С поднятым хвостом она проходит вверх 1, затем вправо 3. Вторая фигура начинается в (3; 1).

2. Найди стороны только общей области

Ширина 16 − 3 = 13, высота 23 − 1 = 22. Для периметра складываем две ширины и две высоты:

from turtle import *

setup(1000, 800)
size = 7.692
# Область просмотра вмещает рисунок; соотношение сторон сохранено.
setworldcoordinates(-15.383999999999958, -45.382799999999975, 684.588, 514.5948)
tracer(0)
hideturtle()
lt(90)
down()

for i in range(4):
    fd(23 * size)
    rt(90)
    fd(16 * size)
    rt(90)
up()
fd(1 * size)
rt(90)
fd(3 * size)
lt(90)
down()
for i in range(4):
    fd(60 * size)
    rt(90)
    fd(84 * size)
    rt(90)

update()
done()

Периметр тонкого пересечения

Повтори 9 [
    Вперёд 22
    Направо 90
    Вперёд 6
    Направо 90
]
Поднять хвост
Вперёд 1
Направо 90
Вперёд 5
Налево 90
Опустить хвост
Повтори 9 [
    Вперёд 53
    Направо 90
    Вперёд 75
    Направо 90
]

1. Не потеряй положение после девяти повторов

Один блок рисует две стороны. После восьми повторов Черепаха снова в начале и смотрит вверх; девятый блок приводит её в (6; 22), направление вниз.

Поэтому второй прямоугольник строится из (1; 21) вниз и влево. В шпаргалке координаты этой схемы отражены; здесь используем точное положение по командам. Размеры пересечения и итоговый ответ при этом сохраняются.

2. Сравни координатные диапазоны

Общая ширина 1 − 0 = 1, общая высота 21 − 0 = 21. Узкая полоса остаётся прямоугольником: у неё есть две короткие стороны и две длинные.

from turtle import *

setup(1000, 800)
size = 8.333
# Область просмотра вмещает рисунок; соотношение сторон сохранено.
setworldcoordinates(-633.308, -321.6538, 66.66399999999999, 238.32379999999998)
tracer(0)
hideturtle()
lt(90)
down()

for i in range(9):
    fd(22 * size)
    rt(90)
    fd(6 * size)
    rt(90)
up()
fd(1 * size)
rt(90)
fd(5 * size)
lt(90)
down()
for i in range(9):
    fd(53 * size)
    rt(90)
    fd(75 * size)
    rt(90)

update()
done()

Как найти пересечение по координатам

Для прямоугольников со сторонами вдоль осей сравни диапазоны x и y отдельно. Левая граница общей части — большая из двух левых, правая — меньшая из двух правых. Аналогично по y.

left = max(x1_min, x2_min)
right = min(x1_max, x2_max)
bottom = max(y1_min, y2_min)
top = min(y1_max, y2_max)
width = right - left
height = top - bottom

Если width и height положительные, общая часть — прямоугольник: площадь width * height, периметр 2 * (width + height). Если одна длина отрицательная, пересечения нет. Нулевая длина означает касание: общей частью может быть отрезок или точка, и обычную формулу периметра прямоугольной области применять нельзя.

Чего нельзя делать с периметрами

Для площади объединения работает S₁ + S₂ − Sобщ. Периметр объединения находят по его внешней границе: внутренние линии не входят. Периметр пересечения находят по границе общей области. Простое сложение периметров исходных фигур не отвечает ни на один из этих вопросов.

Где Черепаха находится перед следующей фигурой

Выбери разбор и выполняй команды по шагам. Смотри на координаты, направление головы и состояние хвоста. В пятом примере нажми «После первого цикла» и проверь положение после девяти повторов.

Переключай точки, площадь и периметр

Меняй область и величину, наблюдай, что выделяется на рисунке. Сначала попробуй ответить сам, затем проверь результат. В режиме точек можно нажать на любую точку или выбрать её клавишей Tab и Enter.

Двенадцать упражнений на различия между типами

После ошибки измени ответ и проверь снова.

Решено: 0 из 12

Python для пяти рисунков из шпаргалки

После tracer(0) в файлах вызывается update(), чтобы показать весь рисунок. Для своей задачи меняй команды, масштаб и диапазоны координат сетки. range(a, b) не включает b.

Проверка перед ответом

• Выбрана нужная область: одна фигура, объединение или пересечение.
• Выбрана нужная величина: точки, площадь или периметр.
• Для точек прочитано правило о границе.
• Общие точки и общая площадь не посчитаны дважды.
• Измерения взяты в единицах условия; масштаб экрана не попал в ответ.
• Углы не умножены на size.
• Назад не изменил направление головы, а перенос с поднятым хвостом не стал стороной фигуры.
• Перед переносом проверены координаты и направление после всех повторов.

Вопросы о точках и геометрии Черепахи